Question

9．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上．
（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证：△BED≌△DFC；
（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=2，BE=3，求$\frac{CF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明DE和DF为△ABC的中位线得到DE∥AC，DF∥AB，利用平行线的性质得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，然后根据相似三角形的判定方法可得△BED≌△DFC；
（2）由于DE∥AC，DF∥AB，根据平行线的性质得∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，根据平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，所以△BED≌△DFC，DF=AE=2，DE=AF，然后利用相似比和等线段代换即可得到$\frac{CF}{AF}$的值．

解答 （1）证明：∵点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点，
∴DE和DF为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，
∴△BED≌△DFC；
（2）解：DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BDE=∠C，∠B=∠CDF，四边形AEDF为平行四边形，
∴△BED≌△DFC，DF=AE=2，DE=AF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{BE}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．也考查了三角形中位线性质．