Question

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F；过D作⊙O的切线，交CA延长线于点E．
（1）求证：AB∥DE；
（2）写出AC、CD、BC之间的数量关系AC+BC=$\sqrt{2}$CD，并加以证明．
（3）若tan∠B=$\frac{1}{2}$，DF=5$\sqrt{2}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD．根据直径所对的圆周角是90°，可知：∠ACB=90°，从而可求得∠ABD=∠ACD=∠DCB=45°由弦切角定理可知：∠CDE=∠CBA+45°，由三角形外角的性质可知∠CFA=∠CBA+45°，故此∠AFC=∠EDC，从而可证明AB∥ED，
（2）先根据角平分线的性质定理得出DG=DM，CM=CG，进而得出CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD再判断出Rt△ADG≌Rt△BDM，最后等量代换即可；
（3）先根据三角函数得出BC=2x，AB=$\sqrt{5}$x，再用角平分线定理得出AF和BF，借助（2）结论得出CF，CD，进而用相交弦定理建立方程求出x，最后用平行线分线段成比例定理得出DE．

解答 解：（1）如图1，

∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°．
∴∠ABD=∠ACD=45°．
由弦切角定理可知：∠CDE=∠CBD=∠CBA+∠ABD=∠CBA+45°．
∵∠CFA=∠FCB+∠CBA=∠CBA+45°，
∴∠AFC=∠EDC．
∴AB∥ED，
（2）AC+BC=$\sqrt{2}$CD 
理由：如图2，

连接BD，AD，过点D作DG⊥AC，DM⊥BM，
∵∠ACD=∠BCD，
∴DG=DM，CM=CG
由（1）知，AB∥DE，且DE是⊙O的切线，
∴点D是半圆的中点，
∵AB是直径，
∴AD=BD，
在Rt△ADG和Rt△BDM中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DG=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△BDM，
∴AG=BM，
在Rt△CDG中，∠DCG=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$CG，
∴CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD
∴AC+BC=AC+CM+BM=AC+CM+AG=CM+CG=2CG=$\sqrt{2}$CD；
即：AC+BC=$\sqrt{2}$CD 
故答案为：AC+BC=$\sqrt{2}$CD 
（3）设AC=x，
∵tan∠B=$\frac{1}{2}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=2x，
∴AB=$\sqrt{5}$x，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，BF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$x，
由（2）知，$\sqrt{2}$CD=AC+BC=3x，
∴CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∵DF=5$\sqrt{2}$，
∴CF=CD-DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x-5$\sqrt{2}$，
根据相交弦定理得，DF×CF=AF×BF，
∴5$\sqrt{2}$（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x-5$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x•$\frac{2\sqrt{5}}{3}$x，
∴x=6或x=$\frac{15}{2}$，
当x=6时，AF=2$\sqrt{5}$，BF=4$\sqrt{5}$，CD=9$\sqrt{2}$，CF=4$\sqrt{2}$，
∵AB∥DE，
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{DE}=\frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
∴DE=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
当x=$\frac{15}{2}$，AF=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，CF=$\frac{25\sqrt{2}}{4}$，CD=$\frac{45\sqrt{2}}{2}$，
∵AB∥DE，
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{2}}{DE}=\frac{\frac{25\sqrt{2}}{4}}{\frac{45\sqrt{2}}{2}}$，
∴DE=$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$．
即：DE的长为$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了角平分线的性质，切线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相交弦定理，解本题的关键是构造出全等三角形，难点是求出DE，是一道中等难度的中考常考题．