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【题目】已知,A为⊙0外一点,A作⊙O的切线与⊙O相切于点P,连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP=DPA

1)求证:PO=PD

(2)AC=,求⊙O的半径。

【答案】1)见解析;(2)半径.

【解析】

1)设∠OAP=DPA=x,根据三角形外角的性质和切线的性质,分别表示出∠ODP和∠OPD,根据∠OPD=ODP可求出x=30°,易得ODP是等边三角形,结论得证;

2)设半径为r,则AP=,然后用勾股定理求得,最后根据切割线定理列出方程求解即可.

解:(1)设∠OAP=DPA=x,则∠ODP=2x

PA为切线,

∴∠OPA=90°

∴∠OPD=90°-x

∵∠OPD=ODP

90°-x=2x

解得:x=30°

∴∠ODP=OPD=90°-x=60°

ODP是等边三角形,

PO=PD

2)设半径为r

由(1)得∠OAP=30°

AP=

由切割线定理可得:AP2=AC·AB,即

解得:.

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