【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分 .
(1)求过A,B,E三点的抛物线的解析式;
(2)求证:四边形AMCD是菱形;
(3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意可知,△MBC为等边三角形,点A,B,C,E均在⊙M上,
则MA=MB=MC=ME=2,
又∵CO⊥MB,
∴MO=BO=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),
抛物线顶点E的坐标为(﹣1,﹣2),
设函数解析式为y=a(x+1)2﹣2(a≠0)
把点B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,
解得:a= ,
故二次函数解析式为:y= (x+1)2﹣2;
(2)
证明:
连接DM,
∵△MBC为等边三角形,
∴∠CMB=60°,
∴∠AMC=120°,
∵点D平分弧AC,
∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,
∵MD=MC=MA,
∴△MCD,△MDA是等边三角形,
∴DC=CM=MA=AD,
∴四边形AMCD为菱形(四条边都相等的四边形是菱形);
(3)
解:存在.
理由如下:
设点P的坐标为(m,n)
∵S△ABP= AB|n|,AB=4
∴ ×4×|n|=5,
即2|n|=5,
解得:n=± ,
当 时, (m+1)2﹣2= ,
解此方程得:m1=2,m2=﹣4
即点P的坐标为(2, ),(﹣4, ),
当n=﹣ 时, (m+1)2﹣2=﹣ ,
此方程无解,
故所求点P坐标为(2, ),(﹣4, ).
【解析】此题主要考查了二次函数综合以及菱形的判定方法、三角形面积求法和等边三角形的性质等知识,正确得出E点坐标是解题关键.(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标,再利用顶点式求出函数解析式;(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,进而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出△ABP的面积进而求出n的值,再代入函数关系式求出P点坐标.
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【题目】已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中,∠ABC的大小为______°.
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【题目】在中,.
(1)如图①,点在斜边上,以点为圆心,长为半径的圆交于点,交于点,与边相切于点.求证:;
(2)在图②中作,使它满足以下条件:
①圆心在边上;②经过点;③与边相切.
(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动,设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
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【题目】如图,直线y=﹣ x+2 与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和 个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.
(1)求点A,点B的坐标;
(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;
(3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2 , 点A,B的对应点分别为点D,E.
(1)直接写出点A,C,D的坐标;
(2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;
(3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.
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【题目】为了加强对校内外安全监控,创建平安校园,某学校计划增加15台监控摄像设备,现有甲、乙两种型号的设备,其中每台价格,有效监控半径如表所示,经调查,购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元.
甲型 | 乙型 | |
价格(元/台) | a | b |
有效半径(米/台) | 150 | 100 |
(1)求a、b的值;
(2)若购买该批设备的资金不超过11000元,且要求监控半径覆盖范围不低于1600米,两种型号的设备均要至少买一台,请你为学校设计购买方案,并计算最低购买费用.
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【题目】计算:
(1)3+()+()+();
(2)25.7+(-7.3)+(-13.7)+7.3;
(3)(-2.125)+()+()+(-3.2);
(4)(-0.8)+6.4+(-9.2)+3.6+(-1).
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【题目】为鼓励市民节约用电,小亮家所在地区规定:每户居民如果一个月的用电量不超过度,那么这户居民这个月只需交元电费;如果超过度,则这个月除了仍要交元的电费以外,超过的部分还要按每度元交电费.已知小亮家月份用电度,交电费元;月份用电度,交电费元.
(1)请直接写出小亮家月份超过度部分的用电量(用含的代数式表示);
(2)求的值.
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