【题目】如图 1,直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B,点C为x轴正半轴上的点,点 D从点C处出发,沿线段CB匀速运动至点 B 处停止,过点D作DE⊥BC,交x轴于点E,点 C′是点C关于直线DE的对称点,连接 EC′,若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S,点D的运动时间为t(秒),S与 t 的函数图象如图 2 所示.
(1)VD ,C 坐标为 ;
(2)图2中,m= ,n= ,k= .
(3)求出S与t 之间的函数关系式(不必写自变量t的取值范围).
【答案】(1)点D的运动速度为1单位长度/秒,点C坐标为(4,0).(2);;.(3)①当点C′在线段BC上时, S=t2;②当点C′在CB的延长线上, S=t2+t;③当点E在x轴负半轴, S=t24t+20.
【解析】
(1)根据直线的解析式先找出点B的坐标,结合图象可知当t=时,点C′与点B重合,通过三角形的面积公式可求出CE的长度,结合勾股定理可得出OE的长度,由OC=OE+EC可得出OC的长度,即得出C点的坐标,再由勾股定理得出BC的长度,根据CD=BC,结合速度=路程÷时间即可得出结论;
(2)结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点,即可得知当“当t=k时,点D与点B重合,当t=m时,点E和点O重合”,结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值,再由三角形的面积公式即可得出n的值;
(3)随着D点的运动,按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑:①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式;②由重合部分的面积=S△CDES△BC′F,通过解直角三角形得出两个三角形的各边长,结合三角形的面积公式即可得出结论;③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值,结合三角形的面积公式即可得出结论.
(1)令x=0,则y=2,即点B坐标为(0,2),
∴OB=2.
当t=时,B和C′点重合,如图1所示,
此时S=×CEOB=,
∴CE=,
∴BE=.
∵OB=2,
OE=,
∴OC=OE+EC=+=4,BC=,CD=,
÷=1(单位长度/秒),
∴点D的运动速度为1单位长度/秒,点C坐标为(4,0).
故答案为:1单位长度/秒;(4,0);
(2)根据图象可知:
当t=k时,点D与点B重合,
此时k==2;
当t=m时,点E和点O重合,如图2所示.
sin∠C===,cos∠C=,
OD=OCsin∠C=4×=,CD=OCcos∠C=4×=.
∴m==,n=BDOD=×(2)×=.
故答案为:;;2.
(3)随着D点的运动,按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑:
①当点C′在线段BC上时,如图3所示.
此时CD=t,CC′=2t,0<CC′≤BC,
∴0<t≤.
∵tan∠C=,
∴DE=CDtan∠C=t,
此时S=CDDE=t2;
②当点C′在CB的延长线上,点E在线段OC上时,如图4所示.
此时CD=t,BC′=2t2,DE=CDtan∠C=t,CE==t,OE=OCCE=4t,
∵,即,
解得:<t≤.
由(1)可知tan∠OEF==,
∴OF=OEtan∠OEF=t,BF=OBOF=,
∴FM=BFcos∠C=.
此时S=CDDEBC′FM=;
③当点E在x轴负半轴,点D在线段BC上时,如图5所示.
此时CD=t,BD=BCCD=2t,CE=t,DF=,
∵,即,
∴<t≤2.
此时S=BDDF=×2×(2t)2=t24t+20.
综上,当点C′在线段BC上时, S=t2;当点C′在CB的延长线上, S=t2+t;当点E在x轴负半轴, S=t24t+20.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的关系式;
(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?并说明理由;
(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】将函数的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后,所得的是新函数的图象.若该新函数图象与直线有两个交点,则的取值范围为___________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线都经过、两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E,在射线上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点P是直线下方抛物线上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标,并求面积的最大值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,圆O的半径为3cm,B为圆O外一点,OB交圆O于A,AB=OA,动点P从点A出发,以πcm/s的速度在圆O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为( )秒时,BP与圆O相切.
A.1sB.5sC.1s或 5sD.2s或 4s
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【题目】如图,∠MAN=60°,点B在射线AM上,AB=4,点P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ(点B,P,Q按顺时针排列),点O是△BPQ的外心.
(1)如图1,当OB⊥AM时,点O________∠MAN的平分线上(填“在”或“不在”);
(2)求证:当点P在射线AN上运动时,总有点O在∠MAN的平分线;
(3)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时,AO与BP交于点C,设AP=m,用m表示AC·AO;
(4)若点D在射线AN上,AD=2,圆I为△ABD的内切圆.当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时,请直接写出点A与点O的距离.
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【题目】某数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | - | - | 1 | 2 | 3 | … | ||
y | … | - | m | ﹣2 | - | - | 2 |
| … |
(1)自变量x的取值范围是 ,m= .
(2)根据(1)中表内的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,画出函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分.
(3)请你根据函数图象,写出两条该函数的性质;
(4)进一步探究该函数的图象发现:
①方程x+=3有 个实数根;
②若关于x的方程x+=t有2个实数根,则t的取值范围是 .
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【题目】某校为了解九年级男生1000米长跑的成绩,从中随机抽取了50名男生进行测试,根据测试评分标准,将他们的得分进行统计后分为A、B、C、D四等,并绘制成下面的频数分布表和扇形统计图.
等第 | 成绩(得分) | 频数(人数) | 频率 |
A | 10分 | 7 | 0.14 |
9分 | x | m | |
B | 8分 | 15 | 0.30 |
7分 | 8 | 0.16 | |
C | 6分 | 4 | 0.08 |
5分 | y | n | |
D | 5分以下 | 3 | 0.06 |
合计 | 50 | 1.00 |
(1)试直接写出
(2)求表示得分为C等的扇形的圆心角的度数;
(3)如果该校九年级共有男生200名,试估计这200名男生中成绩达到A等和B等的人数共有多少人?
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