Question

4．已知二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4）且与x轴交于A、B两点，其顶点为P．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，指出函数的增减性，并直接写出函数值y＜0时自变量x的取值范围．
（3）求△ABP的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4），可以求得此二次函数的解析式；
（2）首先根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，从而可以得到顶点P的坐标，再令y=0代入求得的函数解析式可以求得点A和点B的坐标，从而可以得到函数值y＜0时自变量x的取值范围，由顶点P的坐标和函数图象可以得到函数的增减性；
（3）由（2）可知点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），顶点P的坐标为（-1，-4），所以AB的长可求出，△ABP边AB的高即为点P的纵坐标的绝对值，利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：
（1）设此二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵二次函数的图象经过点（0，-3），（2，5），（-1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{4a+2b+c=5}\\{a-b+c=-4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2，c=-3，
∴此二次函数的解析式是：y=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，点P为此二次函数的顶点坐标，
∴点P的坐标为（-1，-4），
当x＜-1时，y随x的增大而减小；
当x＞-1时，y随x的增大而增大，
将y=0代入y=x²+2x-3得，x₁=-3，x₂=1，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）
∴函数值y＜0时自变量x的取值范围是：-3＜x＜1；
（3）∵点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），顶点P的坐标为（-1，-4），
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．