Question

如图，把一块含45°的直角三角板AOB放置在以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，2），直线x=2交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=2于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=2于点N．
（1）填空：∠NPB=

 

度；
（2）当点C在第一象限时，
①试判断PO与PC的大小关系，并加以证明；
②设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）设点P的横坐标为t，当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=2上移动，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，求线段PN与⊙B有一个交点时，t的范围．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质求出MN∥OB，求出∠NPB=∠ABO即可；
（2）①证等腰△AOB、△AMP、△PNB，推出PN=BN=OM，推出∠NPC=∠MOP，证△OPM≌△PCN即可；②求出AM、OM，计算出矩形的面积减去两个△MOP的面积即可；
（3）①当点P与点A重合时，求出P的坐标；
②当点P恰好在⊙B上时，点C在第四象限，此时BP=BC，求出m，求出PM，OM即可；当MN与⊙B相切时，证△OPM≌△PCN，推出PC=OP，求出PM、OM即可．

解答：（1）解：∵MN∥OB，OA∥BN，∠AOB=90°，
∴四边形MOBN是矩形，
∴MN∥OB，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
故答案为：45．

（2）①PO=PC；
证明：
∵OM∥BN，MN∥OB，
∴四边形OBNM是矩形，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，
∴PN=BN=OM，
∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠NPC=∠MOP，
又∠OMP=∠PNC=90°，
∴△OPM≌△PCN，
∴PO=PC．

②依题意可得：AM=PM=

2

2

AP=

2

2

m，
∴OM=OA-AM=2-

2

2

m．
∴S=S矩形OBNM-2S△MOP=OM•OB-OM•PM=OM•PN=OM2=(2-

2

2

m)2=4-2

2

m+

m2

2

(0≤m＜

2

)

（3）①当点P与点A重合时，点P、M、A三点重合，点C、N重合，由PC⊥BC，则线段PN与⊙B相切，即PN与⊙B有交点，此时PC=2，P（0，2）；
②当点P恰好在⊙B上时，点C在第四象限，此时BP=BC，
∴

2

BN=CN-BN，即

2

OM=MP-OM

2

(2-

2

2

m)=

2

2

m-(2-

2

2

m)
∴m=2，
∴PM=

2

2

m=

2

，OM=2-

2

2

m=2-

2

∴P(

2

， 2-

2

2

)
当MN与⊙B相切时，此时BC=BN=PN，
同理可证得：△OPM≌△PCN，则PC=OP，PN=OM，NC=MP，则MP+PN=CN+PN=3PN=MN，
故MP=

2

3

MN=

2

3

×2=

4

3

，MO=

1

3

MN=

1

3

×2=

2

3

，∴P(

4

3

， 

2

3

)
综上，当t=0或

4

3

≤t≤

2

时，线段PN与⊙B有一个交点．

点评：本题主要考查对等腰直角三角形，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．