Question

【题目】如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是_____．

Answer 1

【答案】-1．

【解析】

连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA＝OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC＝OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO＝∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD＝AE＝，CD＝OE＝a，于是C点坐标为（，﹣a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．

解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，

设A点坐标为（a，），

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴OA＝OB

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OC＝OA，OC⊥OA，

∴∠DOC+∠AOE＝90°，

∵∠DOC+∠DCO＝90°，

∴∠DCO＝∠AOE，

在△COD和△OAE中，

，

∴△COD≌△OAE，

∴OD＝AE，CD＝OE，

∴点C的坐标为（，﹣a），

×（﹣a）＝﹣1，

∴k＝﹣1．

故答案为：﹣1．