Question

（1）如图1，∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠APB的度数；若发生变化，求出变化范围．
（2）如图2，两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=n°，在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠C的度数；若发生变化，求出变化范围．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠APB的度数，再根据三角形内角和是180°即可求解；
（2）令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，再根据三角形的外角性质即可求解．

解答：（1）解：∵在△AOB中，∠MON=80°，
∴∠OAB+∠OBA=100°，
又∵AC、BD为角平分线，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

∠OAB+

1

2

∠OBA=

1

2

×100°=50°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=130°，
即随着点A、B位置的变化，∠APB的大小始终不变，为130°．

（2）解：由题意，不妨令∠OAC=∠CAB=x，∠ABD=∠BDY=y，
∵∠ABY是△AOB的外角，
∴2y=n+2x，
同理，∠ABD是△ABC的外角，有y=∠C+x，
于是，显然有∠C=

n°

2

．

点评：本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．