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如图,直线x=-4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=-4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3.

(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.

(1)点A的坐标为(-2,0)。
(2)此抛物线的函数关系式为

解析分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,由抛物线的对称性可知OF=AF,则2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根据相似三角形对应边成比例得出 ,即AE=2AF②,①与②联立组成二元一次方程组,解出AE=2,AF=1,进而得到点A的坐标。
(2)先由抛物线过原点(0,0),设此抛物线的交点式为,再根据抛物线过原点(0,0)和A点(-2,0),求出对称轴为直线x=-1,则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2,BC=6.再由OB>OC,可知当△OBC是等腰三角形时,可分两种情况讨论:①当OB=BC时,设B(-4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,将B点坐标代入,运用待定系数法求出此抛物线的解析式;②当OC=BC时,设C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,将C点坐标代入,运用待定系数法求出此抛物线的解析式。
解:(1)如图,过点D作DF⊥x轴于点F,

由题意,可知OF=AF,则2AF+AE=4①。
∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE。
,即AE=2AF②。
①与②联立,解得AE=2,AF=1。
∴点A的坐标为(-2,0)。
(2)∵抛物线过原点(0,0)和点A(-2,0),
∴可设此抛物线的解析式为,且对称轴为直线x=-1。
∵B、C两点关于直线x=-1对称,B点横坐标为-4,∴C点横坐标为2。
∴BC=2-(-4)=6。
∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC。
∴当△OBC是等腰三角形时,分两种情况讨论:
①当OB=BC时,设B(-4,y1),则,解得(负值舍去)。
∴B(-4,)。
将B(-4,)代入,得,解得
∴此抛物线的解析式为,即
②当OC=BC时,设C(2,y2),则,解得(负值舍去)。
∴C(2,)。
将A C(2,)代入,得得,解得
∴此抛物线的解析式为,即
综上所述,若△OBC是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为

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