如图,直线x=-4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=-4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
(1)点A的坐标为(-2,0)。
(2)此抛物线的函数关系式为或。
解析分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,由抛物线的对称性可知OF=AF,则2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根据相似三角形对应边成比例得出 ,即AE=2AF②,①与②联立组成二元一次方程组,解出AE=2,AF=1,进而得到点A的坐标。
(2)先由抛物线过原点(0,0),设此抛物线的交点式为,再根据抛物线过原点(0,0)和A点(-2,0),求出对称轴为直线x=-1,则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2,BC=6.再由OB>OC,可知当△OBC是等腰三角形时,可分两种情况讨论:①当OB=BC时,设B(-4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,将B点坐标代入,运用待定系数法求出此抛物线的解析式;②当OC=BC时,设C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,将C点坐标代入,运用待定系数法求出此抛物线的解析式。
解:(1)如图,过点D作DF⊥x轴于点F,
由题意,可知OF=AF,则2AF+AE=4①。
∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE。
∴,即AE=2AF②。
①与②联立,解得AE=2,AF=1。
∴点A的坐标为(-2,0)。
(2)∵抛物线过原点(0,0)和点A(-2,0),
∴可设此抛物线的解析式为,且对称轴为直线x=-1。
∵B、C两点关于直线x=-1对称,B点横坐标为-4,∴C点横坐标为2。
∴BC=2-(-4)=6。
∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC。
∴当△OBC是等腰三角形时,分两种情况讨论:
①当OB=BC时,设B(-4,y1),则,解得(负值舍去)。
∴B(-4,)。
将B(-4,)代入,得,解得。
∴此抛物线的解析式为,即。
②当OC=BC时,设C(2,y2),则,解得(负值舍去)。
∴C(2,)。
将A C(2,)代入,得得,解得。
∴此抛物线的解析式为,即。
综上所述,若△OBC是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为或。
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:y=﹣10x+500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于300元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.
(平面内两点间的距离公式).
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=900,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线上,求此时点F的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:单选题
如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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