Question

如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设BM=x，CN=y，AP=z，且x+y+z=1．
（1）试用x，y，z表示△MNP的面积
（2）求△MNP面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由正三角形ABC的边长为l，BM=x，CN=y，AP=z，即可求得MC，NA，PB的值，又由S_△MNP=S_△ABC-S_△PBM-S_△MCN-S_△NAP与x+y+z=1，即可求得△MNP的面积；
（2）由（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1与x²+y²+z²≥xy+yz+zx，即可求得xy+yz+zx的最大值，继而求得△MNP面积的最大值．

解答：解：（1）∵正三角形ABC的边长为l，
∴AB=BC=AC=1，
∵BM=x，CN=y，AP=z，
∴MC=1-x，NA=1-y，PB=1-z，
∴S_△MNP=S_△ABC-S_△PBM-S_△MCN-S_△NAP=

3

4

-

1

2

x（1-z）

3

2

-

1

2

（1-x）y

3

2

-

1

2

（1-y）z

3

2

=

3

4

-

3

4

[x+y+z-（xy+yz+zx）]=

3

4

（xy+yz+zx）；

（2）∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1，
∵x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
∴xy+yz+zx≤

1

3

（当x=y=z=

1

3

时，等号成立），
∴S_△MNP=

3

4

（xy+yz+zx）≤

3

12

．

点评：此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．