Question

13．正方形ABCD中，点E为AB的中点，若将△BCE沿CE对折，点B将落在点F处，连接EF并延长交AD、CD的延长线分别于G、H．
（1）若BC=4，求FG的长．
（2）求证：CH=5DH．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=AD=CD=BC=4，∠A=∠B=∠CDG=90°，与折叠的性质得FC=BC，∠CFG=∠CFE=∠B=90°，FE=BE=2，得出CF=CD，由HL证明Rt△CDG≌Rt△CFG，得出DG=FG=x，得出AG=AD-DG=4-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）设BC=4a，则AE=BE=2a，由（1）得：DG=FG=$\frac{4}{3}$a，AG=$\frac{8}{3}$a，证明△AGE∽△DGH，得出对应边成比例求出DH=$\frac{1}{2}$AE=a，得出CH=5a，即可得出结论．

解答 （1）解：设FG=x，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=4，∠A=∠B=∠CDG=90°，
∵点E为AB的中点，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
由折叠的性质得：△FCE≌△BCE，
∴FC=BC，∠CFG=∠CFE=∠B=90°，FE=BE=2，
∴CF=CD，
在Rt△CDG和Rt△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△CFG（HL），
∴DG=FG=x，
∴AG=AD-DG=4-x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：2²+（（4-x）²=（x+2）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴FG=$\frac{4}{3}$；
（2）证明：设BC=4a，则AE=BE=2a，
由（1）得：DG=FG=$\frac{4}{3}$a，
∴AG=4a-$\frac{4}{3}$a=$\frac{8}{3}$a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD=BC=4a，AB∥CD，
∴△AGE∽△DGH，
∴$\frac{AE}{DH}=\frac{AG}{DG}$=$\frac{\frac{8}{3}a}{\frac{4}{3}a}$=2，
∴DH=$\frac{1}{2}$AE=a，
∴CH=Aa+a=5a，
∴CH=5DH．

点评 本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形和翻折变换的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．