Question

5．如图，△ABC中，AB=10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，点D为边AC上一点，点E为CA延长线上一点，且$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，以DB、DE为边作?BDEF，则当对角线DF的长取得最小值时，BD的长为8．

Answer 1

分析 先确定出FD最短时，DF⊥BF，再由FB∥ED，得到比例式$\frac{AD}{FB}=\frac{OA}{OB}$，而$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，求出OB=3OA，再根据三角函数求出OA，OB，FD，最后用勾股定理计算即可．

解答 解：∵AB=10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴点B是定点，
∵点D，F分别是FB∥ED上两点，
当DF去最小值时，DF⊥BF，
∵以DB、DE为边作?BDEF，
∴ED∥FB，DE=BF，
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BF}$$\frac{1}{3}$，
∵ED∥FB，
∴$\frac{AD}{FB}=\frac{OA}{OB}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=3OA，
∵DE∥FB，FB⊥FD，
∴∠ADO=90°
设AD=x，则FB=3x，
在Rt△ADO中，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠BAC=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{x}{OA}$，
∴OA=$\frac{5x}{4}$，∵$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴OB=3OA=$\frac{15x}{4}$，
∵AB=10，
∴AB=OA+OB=$\frac{5x}{4}$+$\frac{15x}{4}$=10，
∵x=2，
∴FB=3x=6，
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，OA=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{3}{5}$，
∴OD=$\frac{3}{5}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴OF=3OD=$\frac{9}{2}$，
∴DF=OD+OF=6，
在Rt△BFD中，DF=6，AB=10，
∴BD=8．
故答案为8．

点评 此题是平行四边形的性质，主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是确定出DF最小时满足的条件，也是解本题的难点．