Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，B C=4，P是边AD上的动点，PE丄AC于点E，PF丄BD于点F，则PE+PF的值为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：几何图形问题,动点型

分析：根据已知条件得到△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB．从而可得出PE，PF的关系式，然后整理即可解答本题．

解答：解：设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD=

32+42

=5，
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC；
∴

AP

AC

=

PE

DC

，
即

x

5

=

PE

3

①
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴

4-x

5

=

PF

3

，②
故①+②，得

4

5

=

PE+PF

3

，
∴PE+PF=

12

5

．
另解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=

3×4

5

=

12

5

．
故答案是：

12

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．