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【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系.

小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′=CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2).

请回答:
(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△≌△
(2)求BC和AC、AD之间的数量关系是
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9.求AB的长.

【答案】
(1)ADC,A′DC
(2)BC=AC+AD
(3)解:如图,在AB上截取AE=AD,连接CE,如图3所示:

∵AC平分∠BAD,

∴∠DAC=∠EAC.

在△AEC和△ADC中,

∴△ADC≌△AEC(SAS),

∴AE=AD=9,CE=CD=10=BC,

过点C作CF⊥AB于点F,

∴EF=BF,

设EF=BF=x.

在Rt△CFB中,∠CFB=90°,由勾股定理得CF2=CB2-BF2=102-x2

在Rt△CFA中,∠CFA=90°,由勾股定理得CF2=AC2-AF2=172-(9+x)2

∴102-x2=172-(9+x)2

解得:x=6,

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21,

∴AB的长为21.


【解析】(1)由SAS容易证出△ADC≌△A′DC;
(2)由△ADC≌△A′DC;得出DA′=DA,∠DA′C=∠A=60,再证出BA′=DA′,得出BA′=AD,即可得出结论;
解决问题:如图,在AB上截取AE=AD,连接CE,先证明△ADC≌△AEC,得出AE=AD=9,CE=CD=10=BC,过点C作CF⊥AB于点F,设EF=BF=x.在Rt△CFB中和Rt△CFA中根据勾股定理求出x,即可得出结论。

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