Question

20、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：
（1）说明四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形，同理可根据各多边形的判定方法来证明．

解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）

点评：此题考查了学生对全等三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法的理解及运用．