Question

【题目】如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.

（1）当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；

（2）在运动过程中，不论t取何值，总有EF⊥OA，为什么？

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△AEB与△OEF相似？

Answer 1

【答案】（1）△EOF∽△ABO．理由见解析；（2）见解析；（3）当t＝时，存在△OEF∽△BEA．

【解析】

（1）运用两边对应成比例且夹角相等，即可得出△EOF∽△ABO；

（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，得出对应角相等，即可得到∠FCO＝90°，进而可得EF⊥OA；

（3）分两种情况讨论：△OEF∽△BEA；△OEF∽△BAE，分别依据对应边成比例，求得t的值，再根据题意判断是否符合题意即可．

（1）△EOF∽△ABO；

理由：∵t＝1，

∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米，

∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，

∴＝，＝，

∴＝，

∵∠EOF＝∠ABE＝90°，

∴△EOF∽△ABO；

（2）在运动过程中，OE＝1.5t，OF＝2t．

∵AB＝3，OB＝4，

∴＝，＝，

∴＝，

又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO，

∴∠AOB＝∠EFO．

∵∠AOB+∠FOC＝90°，

∴∠EFO+∠FOC＝90°，即∠FCO＝90°，

∴EF⊥OA；

（3）由题可得∠EOF＝∠ABE＝90°，

若△OEF∽△BEA，则，

∴，

解得t＝（符合题意）；

若△OEF∽△BAE，则，

∴，

解得t＝0（不合题意），

综上所述，当t＝时，存在△OEF∽△BEA．