以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30.
图1 图2 图3
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
(1)= 的值不变。(2)PN的最大值为-2 最小值为3+2.
【解析】
试题分析:有题意可得△AOD∽△BOCD,即AD/BO=/3,又E F M分别是中点知,EF="1/2AD" ,FA="1/2" 根据三角形相似的性质,知相似比。由特殊角的三角函数,∠EMF=30°∴FM/EM=.的值不变,由于角的值不变。解:(1)①; 1分
②结论:的值不变. (阅卷说明:判断结论不设给分点)
证明:连接EF、AD、BC.(如图)
∵Rt△AOB中,∠AOB=90,∠ABO=30,
∴.
∵Rt△COD中,∠COD=90,∠DCO=30,
∴.
∴.
∵∠AOD=90+∠BOD,∠BOC=90+∠BOD,
∴∠AOD=∠BOC.
∴△AOD∽△BOC. 2分
∴,∠1=∠2.
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,
∴EF∥AD,FM∥CB,且,.
∴, 3分
∠3=∠ADC=∠1+∠6,∠4=∠5.
∵∠2+∠5+∠6=90,
∴∠1+∠4+∠6=90,即∠3+∠4=90.
∴∠EFM=90. 4分
∵在Rt△EFM中,∠EFM=90,,
∴∠EMF=30.
∴. 5分
(2)线段PN长度的最小值为,最大值为. 7分
阅卷说明:第(2)问每空1分.
考点:相似三角形的判定,直角三角形特殊角与边的关系,
点评:本题关键是证相似三角形,及其转化边的关系,从中找到所求的边之间的关系。本题属于难题,计算多,应用的知识点也多。不但要掌握几何的知识,还要熟知三角函数。
科目:初中数学 来源: 题型:
FM |
EM |
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2 |
| ||
2 |
FM |
EM |
3 |
3 |
2 |
3 |
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2 |
3 |
3 |
3 |
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科目:初中数学 来源:2013届江苏省南通市如东县九年级中考适应性训练(一模)数学试卷(带解析) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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科目:初中数学 来源:2013-2014学年北京市平谷九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接EF和FM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=3.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年江苏省南通市如东县九年级中考适应性训练(一模)数学试卷(解析版) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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