Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线．
（2）若AD：AO=8：5，BC=12，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC，∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；   
（2）求出AD：AE：DE=8：10：6，求出△ADE∽△BCD，推出AD：AE：DE=BC：BD：CD=8：10：6，代入求出即可．

解答：（1）证明：连接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A=∠CBD，
∴∠ADO=∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
即OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴直线BD是⊙O的切线；

（2）解：∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10，
∴AD：AE：DE=8：10：6，
∵AE是直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE：DE=BC：BD：CD=8：10：6，
即BC：BD=8：10，
∵BC=12，
∴BD=15．

点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．