Question

9．已知Rt△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（2，1），若抛物线y=ax²与该直角三角形无公共点，则a的取值范围是a＜0或a＞2或0＜a＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 显然a＜0时，抛物线开口向下，与直角三角形无公共点；当a＞0时，分别求出抛物线y=ax²经过点A与点C时a的值，然后根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：∵抛物线y=ax²与Rt△ABC无公共点，A（1，2），B（2，2），C（2，1），
∴可分两种情况：
①a＜0时，抛物线开口向下，与直角三角形无公共点；
②a＞0时，
如果y=ax²经过点A，那么a=2，
所以a＞2时，抛物线y=ax²与该直角三角形无公共点；
如果y=ax²经过点C，那么4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
所以0＜a＜$\frac{1}{4}$时，抛物线y=ax²与该直角三角形无公共点．
综上所述，若抛物线y=ax²与该直角三角形无公共点，则a的取值范围是a＜0或a＞2或0＜a＜$\frac{1}{4}$．
故答案为a＜0或a＞2或0＜a＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：①对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点．②|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．