【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F,BE=CF.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)判断点D是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)点D在∠BAC的角平分线上.
【解析】
(1)利用“HL”证明△BDE和△CDF全等,再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证;
(2)根据△BDE≌△CDF可得DE=DF,即点D在∠BAC的平分线上,据此得证.
(1)证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∵BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形;
(2)点D在∠BAC的角平分线上.
理由如下:
由(1)可知:Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴点D在∠BAC的角平分线上.
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【题目】在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于0,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中的全等三角形共( )
A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对
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【题目】如图,已知:∠MON=30o,点A1、A2、A3 在射线ON上,点B1、B2、B3…..在射线OM上,△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形,若OA1=l,则△A6B6A7 的边长为【 】
A.6 B.12 C.32 D.64
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
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【题目】阅读下列材料,并完成相应的任务:求根分解法是多项式因式分解的一种方法,是用求多项式对应的方程的根分离出多项式的一次因式.
设f(x)是一元多项式,若方程f(x)=0有一个根为x=a,则多项式必有一个一次因式x﹣a,于是f(x)=(x﹣a)g(x).
例如,设多项式7x2﹣x﹣6为f(x),则有f(x)=7x2﹣x﹣6,令7x2﹣x﹣6=0,容易看出,此方程有一根为x=1,则f(x)必有一个一次因式x﹣1,那么得到7x2﹣x﹣6=(x﹣1)(mx+n)(m、n为常数)而(x﹣1)(mx+n)=mx2+(n﹣m)x﹣n,所以7x2﹣x﹣6=mx2+(n﹣m)x﹣n,由系数对应相等可得m=7,n=6,所以7x2﹣x﹣6=(x﹣1)(7x+6).
任务:(1)方程x3﹣3x2+4=0的一根为 .
(2)请你根据上面的材料因式分解多项式:x3﹣3x2+4= .
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【题目】某校为表彰在“书香校园”活动中表现积极的同学,决定购买笔记本和钢笔作为奖品.已知5个笔记本、2支钢笔共需要100元;4个笔记本、7支钢笔共需要161元
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元?
(2)恰好“五一”,商店举行“优惠促销”活动,具体办法如下:笔记本9折优惠;钢笔10支以上超出部分8折优惠若买x个笔记本需要y1元,买x支钢笔需要y2元;求y1、y2关于x的函数解析式;
(3)若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过10件,请你分析买哪种奖品省钱.
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