分析 (1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,得出∠ACD=∠BCD,再由∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD,得出CE=CF即可;
(2)先证明四边形CEDF是矩形,再证出因此AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.
解答 (1)证明:∵CD垂直平分AB,
∴AC=CB.
∴△ABC是等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC,
在△DEC与△DFC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\\{∠EDC=∠FDC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△DEC≌△DFC(ASA),
∴DE=DF;
(2)解:当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下:
∵AD=BD,AB=2CD,
∴AD=BD=CD.
∴∠ACD=45°,∠DCB=45°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,
∴四边形DECF是矩形.
又∵DE=DF,
∴四边形CEDF是正方形.
点评 此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点;熟练掌握正方形的判定,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.
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