Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E，BC平分∠ABE，连接AC、BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求CE的长；
（3）线段CD=CE成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB=∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）在直角△ABC中，利用三角函数求得BC的长，然后在直角△CBE中，利用三角函数即可求得CE的长；
（3）先根据AD⊥CD于D，BE⊥CD于E可知AD∥BE，再根据CD是⊙O的切线可知OC⊥DE，故AD∥OC∥BE，再根据点O是AB的中点可知OC是梯形ABED的中位线，故可得出结论．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
又∵∠EBC=∠ABC，
∴∠OCB=∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴直角△ABC中，BC=AB•sinA=4×

3

2

=2

3

，∠ABC=30°
∴在直角△CBE中，∠CBE=∠ABC=30°，CE=

1

2

BC=

3

．

（3）成立．
理由：∵AD⊥CD于D，BE⊥CD于E，
∴AD∥BE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD∥OC∥BE，
∵点O是AB的中点，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴CD=CE．

点评：本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出中位线是解答此题的关键．