Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，
（1）求证：∠CDO=∠BDO；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质定理得到直角三角形，从而根据HL证明直角三角形全等，即可得到对应角相等；
（2）阴影部分的面积=直角△AOB的面积-直角△ACD的面积-扇形OBC的面积．

解答：（1）证明：∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°．
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°．
在Rt△COD与Rt△BOD中，
∵OD=OD，OB=OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD，（HL）
∴∠CDO=∠BDO．

（2）解：在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
AC=OA-OC=8-4=4．
在Rt△ACD中，tan∠A=

CD

AC

，
又∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•tan30°=

4 3

3

，
∴S_{四边形OCDB}=2S_△OCD=2×

1

2

×4×

4 3

3

=

16 3

3

，
又∠A=30°，
∴∠BOC=60°．
∴S_扇形OBC=

60π•42

360

=

8π

3

，
∴S_阴影=S_{四边形OCDB}-S_扇形OBC=

16 3

3

-

8π

3

．

点评：能够根据切线的性质定理发现直角三角形，熟练运用HL判定直角三角形全等，能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行计算．