Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．
解答：解：（1）令y=0，
得x²-1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=-1
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2分）

（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x²-1上，
∴a+1=a²-1．
解得a₁=2，a₂=-1（不合题意，舍去）．
∴PE=3（4分）．
∴四边形ACBP的面积S=AB•OC+AB•PE
=×2×1+×2×3=4；（6分）

（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3（7分）
设M点的横坐标为m，则M（m，m²-1）
①点M在y轴左侧时，则m＜-1．

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有．
∵AG=-m-1，MG=m²-1．
即
解得m₁=-1（舍去）m₂=（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m=-1（舍去）m₂=-2．
∴M（-2，3）（10分）．
②点M在y轴右侧时，则m＞1

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1，MG=m²-1
∴
解得m₁=-1（舍去）m₂=．
∴M（，）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有，
即．
解得：m₁=-1（舍去）m₂=4，
∴M（4，15）．
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（，），（4，15）．（13分）
点评：考查抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论．