Question

17．已知抛物线y₁=ax²+2x+c与直线y₂=kx+b交于点A（-1，0），B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接写出当y₁＜y₂时，自变量的范围是x＜-1或x＞2；
（3）已知点C是抛物线的顶点，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得；
（2）判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得；
（3）先利用配方法求出抛物线的顶点C的坐标，设对称轴与直线y₂=x+1交于点M，求出M（1，2），那么CM=4-2=2，再根据S_△ABC=S_△AMC+S_△MBC，即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=ax²+2x+c与直线y₂=kx+b交于点A（-1，0）、B（2，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{4a+4+c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=1，c=3；

（2）∵y₁=-x²+2x+3，a=-1＜0，y₂=x+1，
∴抛物线的开口向下，
∴x＜-1或x＞2时，抛物线上的部分在直线的下方，
∴当y₁＜y₂时，自变量的范围是x＜-1或x＞2． 
故答案为 x＜-1或x＞2；
  
（3）∵y₁=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）．
设对称轴与直线y₂=x+1交于点M，
∵当x=1时，y=1+1=2，
∴M（1，2），
∴CM=4-2=2，
∵A（-1，0），B（2，3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×（2+1）=3．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式和直线的解析式，二次函数与不等式，三角形的面积，利用数形结合是解题的关键．