Question

如图①，将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A₁B₁C，A₁C交AB于点D，A₁B₁分别交于BC、AB于点E、F，连接AB₁．
（1）求证：△ADC∽△A₁DF；
（2）若α=30°，求∠AB₁A₁的度数；
（3）如图②，当α=45°时，将△A₁B₁C沿C→A方向平移得△A₂B₂C₂，A₂C₂交AB于点G，B₂C₂交BC于点H，设CC₂=x（0＜x＜），△ABC与△A₂B₂C₂的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知：∠CAD=∠FA₁D，
∵∠1=∠2，
∴△ADC∽△A₁DF；

（2）解：
（法一）∵CA=CA₁=CB=CB₁=1，
∵点A、A₁、B、B₁均在以C为圆心半径为AC的圆上，
∴∠AB₁A₁=；
（法二）如图①，
∵AC=B₁C，
∴∠4=∠3，
∵α=30°，∠A₁CB₁=90°，
∴∠ACB₁=120°，
∴∠4==30°，
∴∠AB₁A₁=∠CB₁A₁-∠4=45°-30°=15°；
（法三）如图①，
∵AC=B₁C，
∴∠4=∠3，
∵∠CAB=∠CB₁A₁，
∴∠CAB-∠3=∠CB₁A₁-∠4，
即∠B₁AB=∠AB₁A₁，
∵∠5=∠B₁AB+∠AB₁A₁，
∴∠5=2∠AB₁A₁，
∵△ADC∽△A₁DF，
∴∠5=α，
∴∠AB₁A₁=；

（3）解：△A₁B₁C在平移的过程中，易证得△AC₂G、△HB₂E、△A₂FG、△C₂HC、△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC₂B₂F是平行四边形，
∵AB==，
∴当α=45°时，CE=CD=AB=，
情形①：当0＜x＜1时（如图2所示），
△A₂B₂C₂与△ABC的重叠部分为五边形C₂HEFG，
S_{五边形C2HEFG}=S_{平行四边形AC2B2F}-S_Rt△AC2G-S_Rt△HB2E，
∵C₂C=x，
∴CH=x，AC₂=1-x，B₂E=HE=1-x，
∴AG=C₂G=AC₂=（1-x）=-x，
∴S_{平行四边形AC2B2F}=AC₂•CE=（-x）•=-x，
S_Rt△AC2G=•AG²=（-x） ²=x²-x+，
S_Rt△HB2E=•B₂E²=，
∴S_{五边形C2HEFG}=-x-（x²-x+）-（）=-x²+x-，
情形②：当1≤x＜时（如图3所示），
△A₂B₂C₂与△ABC的重叠部分为直角梯形C₂B₂FG，
S_{直角梯形C2B2FG}=S_{平行四边形C2B2FA}-S_Rt△AC2G=AC₂•CE-AG²
=-x-（x²-x+）=-x²+；
分析：（1）根据旋转变换的性质得到：∠CAD=∠FA₁D，又由∠1=∠2，易证得△ADC∽△A₁DF；
（2）由四点共圆的知识，易得点A、A₁、B、B₁均在以C为圆心半径为的圆上，又由同弧所对的圆周角相等，可求得∠AB₁A₁的度数；
（3）△A₁B₁C在平移的过程中，易证得△AC₂G、△HB₂E、△A₂FG、△C₂HC、△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC₂B₂F是平行四边形，然后由勾股定理即可求得S与x的函数关系式．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平移的性质与平行四边形的性质．题目比较复杂，特别是图形复杂，解题时要注意仔细识图，准确的应用数形结合思想．