Question

如图①，若二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C．
（1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-2，0），B（3，0）在抛物线y=x²+bx+c上，
∴，
解得：b=-，c=-．

（2）设点F在直线y=x上，且F（2，）．
如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=，OH=2，
∴tan∠FOB==，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．
连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K．
∵点A、C关于y=x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．
∴∠COK=180°-∠AOE-∠COE=60°．
在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2×=，OK=OC•cos60°=2×=1．
∴C（1，-）．
抛物线的解析式为：y=x²-x-，当x=1时，y=-，
∴点C在所求二次函数的图象上．

（3）假设存在．
如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===．
如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD===2．
∵点A、C关于y=x对称，
∴CD=AD=2，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=．
连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四边形内角和等于360°）
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形内角和定理）
∴∠AEP=∠CQE．
在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴，即：，
整理得：2t²-t+3=0，
解得：t=或t=（t＞，故舍去）
∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=．
分析：（1）利用待定系数法求出b，c的值；
（2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y=x与x轴所夹锐角为60°，则可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标；
（3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值．
点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点．试题的难点在于第（3）问，图形中线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关系，证明△APE∽△CEQ是解题关键．