Question

（1）求证：不论m为何值，关于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）总有两个不等的实数根．
（2）二次函数y=2x²-4mx+m²-1的图象与x轴有交点吗？请说明理由．
（3）请你根据前两问得到的启示，利用二次函数y=2x²-4x+1的图象，求出x取何值时y＞0．

Answer 1

分析：（1）先把关于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）化为一元二次方程的一般形式，再根据△＞0时方程由两个不相等的实数根得到关于m的不等式，求出m的值即可；
（2）先求出△的表达式，再根据△的取值范围即可作出判断；
（3）先判断出抛物线的开口方向，再求出抛物线与x轴的两交点坐标，根据函数图象在x轴上方时y＞0即可解答．

解答：解：（1）原方程可化为：2x²-4mx+m²-1=0，
∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴关于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）总有两个不等的实数根；

（2）∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴二次函数y=2x²-4mx+m²-1的图象与x轴总有两个不同的交点；

（3）∵二次函数y=2x²-4x+1中，a=2＞0，
∴此函数的图象开口向上，
∵x=

-b± b2-4ac

2a

=

4± (-4)2-4×2

2×2

=1±

2

2

，
∴二次函数y=2x²-4x+1的图象与x轴的交点为（1+

2

2

，0），（1-

2

2

，0），
∴当x＞1+

2

2

或x＜

2

2

时y＞0．

点评：本题考查的是二次函数的图象与x轴的交点问题，能把二次函数的解与解一元二次方程结合起来是解答此题的关键．