Question

15．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF²=4OD•OP；
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
（3）根据OA=OC，AD=BD，BC=6，得到OD=$\frac{16}{7}$BC=3．设AD=x，从而得到tan∠F=$DF=\sqrt{D{C^2}-F{C^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$，表示出FD=2x，OA=OF=2x-3．在Rt△AOD中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径．

解答 解：（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°．
∵OA=OB，BA⊥PO于D
∴AD=BD，∠POA=∠POB．
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴直线PA为⊙O的切线．        

（2）∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°．
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴${（2\sqrt{2}x）^2}+{（2\sqrt{2}）^2}={（x+2\sqrt{2}）^2}$=$x=\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$，
即OA²=OD•OP．
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD•OP；

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3．
设AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²．
解之得，x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去）．
AD=4，OA=2x-3=5．
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10．

点评 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．