Question

我们已经学习过：同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．请您就下面所给的图（1）和图（2）中，圆心O与∠BAC的位置关系，证明：∠BAC=

1

2

∠BOC．

Answer 1

分析：（1）延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A=∠D，再根据等腰三角形的两底角相等，∠D=∠OCD，然后利用三角形的外角性质∠BOC=∠D+∠OCD，整理即可得证；
（2）延长BO交⊙O于点E，连接CE，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A=∠E，再根据等腰三角形的两底角相等，∠E=∠OCE，然后利用三角形的外角性质∠BOC=∠E+∠OCE，整理即可得证；

解答：证明：（1）如图（1），延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

1

2

∠BOC；


（2）如图（2），延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

1

2

∠BOC．

点评：本题考查了圆周角定理的证明，是基础题，作出辅助线找出与∠BAC相等的角，进行等量代换是解题的关键，方法与定理都需要熟练掌握并灵活运用．