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精英家教网如图,已知以AB为直径,O为圆心的半圆与直线MN相切于点C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度数.
(2)若点A到直线MN的距离为6,直径AB的长为8,求弦AC的长.
分析:(1)连接OC,由于OC是切线,那么∠OCD=90°,又∠A=28°,OA=OC,易求∠ACO=28°,从而可求∠ACM;
(2)过点A作AD⊥MN垂足为D,连接BC,由于AB是直径,那么∠ACB=90°,而∠A=28°,易求∠ABC,从而有∠ABC=∠ACM,而∠ADC=∠ACB=90°,易证△ADC∽△ACB,再利用比例线段可求AC.
解答:解:(1)连接OC,
∵MN是⊙O切线,
∴∠OCD=90°,
又∵∠A=28°,OA=OC,精英家教网
∴∠ACO=28°,
∴∠ACM=∠OCD-∠ACO=90°-28°=62°;

(2)过点A作AD⊥MN垂足为D,连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=28°,
∴ABC=62°,
∴∠ABC=∠ACM,
又∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
AD
AC
=
AC
AB

∴6:AC=AC:8,
∴AC=4
3
点评:本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角等于90°、相似三角形的判定和性质.解题的关键是连接OC,并过A作AD⊥MN垂足为D,连接BC,构造等腰三角形、直角三角形以及平行线.
练习册系列答案
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如图所示是永州八景之一的愚溪桥,桥身横跨愚溪,面临潇水,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.
①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,如果从安全方面考虑,要求通过愚溪桥的船只,其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m.探索此船能否通过愚溪桥?说明理由.

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(2012•咸丰县二模)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC、BC为直经作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2的值等于(  )

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①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m,最宽处16m的河鱼餐船,如果从安全方面考虑,要求通过愚溪桥的船只,其船身在铅直方向上距桥内壁的距离不少于0.5m.探索此船能否通过愚溪桥?说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:单选题

如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC、BC为直经作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2的值等于


  1. A.
    8πB
  2. B.
    16π
  3. C.
    25π
  4. D.
    12.5π

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科目:初中数学 来源:2012年湖北省恩施州咸丰县中考数学二模试卷(解析版) 题型:选择题

如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC、BC为直经作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2的值等于( )

A.8πB
B.16π
C.25π
D.12.5π

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