阅读以下材料并填空:平面上有n个点(n≥2)且任意三个点不在同一直线上,过这些点作直线一共能作出多少条不同的直线?
分析:当仅有两个点时,可连成1条直线;当有3个点时,可连成3条直线;当有4个点时,可连成6条直线,当有5个点时可连成10条直线…
推导:平面上有n个点,因为两点可确定一条直线,所以每个点都可与除本身之外的其余(n-1)个点确定一条直线,即共有
n(n-1)条直线.但因AB与BA是同一条直线,故每一条直线都数了2遍,所以直线的实际总条数为
.
试结合以上信息,探究以下问题:
平面上有n(n≥3)个点,任意3个点不在同一直线上,过任意3点作三角形,一共能作出多少个不同的三角形?
分析:考察点的个数n和可作出的三角形的个数 s
n,发现:(填下表)
点的个数 |
可连成的三角形的个数 |
3 |
1 1 |
4 |
4 4 |
5 |
10 10 |
… |
… |
n |
|
推导:
平面上有n个点,过不在同一直线上的三点可以确定1个三角形,取第一个点A有n种取法,取第二个点B有(n-1)种取法.取第三个点C有(n-2)种取法,但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形,故应除以6,即
Sn=.
平面上有n个点,过不在同一直线上的三点可以确定1个三角形,取第一个点A有n种取法,取第二个点B有(n-1)种取法.取第三个点C有(n-2)种取法,但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形,故应除以6,即
Sn=.
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