Question

9．已知多项式$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{19}{4}$．
（1）当x=0，1，2时，分别求出多项式的值；
（2）当x取任意值时，此多项式的值是否总为正数？你能说明其中的道理吗？
（3）你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值多少？

Answer 1

分析 （1）分别将x=0，1，2代入代数式求值即可；
（2）将原式配方后说明其为正数即可；
（3）根据配方的结果写出最小值即可．

解答 解：（1）当x=0时，原式=0-0+$\frac{19}{4}$=$\frac{19}{4}$；
当x=1时，原式=$\frac{1}{2}$×1²-3×1+$\frac{19}{4}$=$\frac{9}{4}$；
当x=2时，原式=$\frac{1}{2}$×2²-3×2+$\frac{19}{4}$=$\frac{3}{4}$；

（2）$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{19}{4}$=$\frac{1}{2}$（x²-6x+9-9）+$\frac{19}{4}$=$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$（x-3）²≥0，
∴$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{4}$＞0，
∴当x取任意值时，此多项式的值是否总为正数；

（3）∵$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{19}{4}$=$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{1}{4}$，
∴当x=3时，有最小值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．