Question

17．如图，⊙O中，$\widehat{CA}=\widehat{CB}$，BD⊥AC于D，OC交BD于E．
（1）求证：∠BEO=∠A；
（2）若AB=4$\sqrt{2}$，OE=1，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，根据圆心角、弧、弦的关系得出AC=BC，进而证得OM=ON，根据角平分线的性质的推论得出CF是∠ACB的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CF⊥AB，然后根据同角的余角相等和对顶角的性质即可证得结论；
（2）连接OA，设⊙O的半径为r，OF=x，则EF=1+x，CF=r+x，通过△ACF∽△EBF，对应边成比例得出$\frac{r+x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1+x}$，从而得出r=$\frac{8}{1+x}$-x，然后在RT△AOF中根据勾股定理得（$\frac{8}{1+x}$-x）²+x²=（2$\sqrt{2}$）²，解得x=1，即可求得r=3．

解答 （1）证明：连接BC，作OM⊥AC，ON⊥BC，
∵$\widehat{CA}=\widehat{CB}$，
∴AC=BC，
∴OM=ON，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴CF⊥AB，
∴∠A+∠C=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠C+∠CED=90°，
∵∠CED=∠BEO，
∴∠BEO+∠C=90°，
∴∠A=∠BEO；
（2）连接OA，
设⊙O的半径为r，OF=x，
∵OE=1，
∴EF=1+x，CF=r+x，
∵∠A=∠BEO，CF⊥AB，
∴△ACF∽△EBF，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{AF}{EF}$，
∵CF⊥AB，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{r+x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1+x}$，
∴（r+x）（1+x）=8，
∴r=$\frac{8}{1+x}$-x，
在RT△AOF中，r²+x²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴（$\frac{8}{1+x}$-x）²+x²=（2$\sqrt{2}$）²，
整理得，3x²+4x-7=0，
解得x₁=1，x₂=-$\frac{7}{3}$（舍去），
∴r=$\frac{8}{1+x}$-x=3．
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．