Question

如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。
∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，
∴△ADA′≌△CDE（SAS）。
（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上。
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°。
∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。
∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。
∴点E也在AA′的垂直平分线上。∴直线CE是线段AA′的垂直平分线。

正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED。
（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，从而得到点E也在AA′的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。