【题目】已知抛物线y=x2﹣mx+n经过点A(3,0).
(1)当m+n=﹣1时,求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当B点坐标为(0,﹣3)时,若抛物线y=x2﹣mx+n图象的顶点在直线AB上,求m、n的值;
(3)①设m=﹣2,当0≤x≤3时,求抛物线y=x2﹣mx+n的最小值;
②若当0≤x≤3时,二次函数y=x2﹣mx+n的最小值为﹣4,求m、n的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3,顶点坐标为(1,﹣4);(2)或;(3)①-15;②m=2,n=﹣3.
【解析】
(1)将点A(3,0)代入解析式,得9﹣3m+n=0,与m+n=1组成方程组,解方程组求得m、n即可;
(2)先表示出二次函数y=x2﹣mx+n图象的顶点,利用直线AB列出式子,再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m,n的值,
(3)①易求抛物线解析式为y=x2+2x﹣15.根据抛物线的对称性和增减性来求二次函数y=x2﹣mx+n的最小值;
②本题要分三种情况:当对称轴时;当对称轴时;当对称轴时,结合二次函数y=x2﹣mx+n的图象经过点A得出式子9﹣3m+n=0,求出m,n但一定要验证是否符合题意.
解:(1)将点A(3,0)代入y=x2﹣mx+n中,得9﹣3m+n=0,
又∵m+n=﹣1,
∴ ,解得 ,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点坐标为(1,﹣4).
(2)二次函数y=x2﹣mx+n图象的顶点坐标为,
设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(3,0),B(0,﹣3)代入得 ,
解得
∴直线AB的解析式为y=x﹣3,
∵抛物线顶点在直线AB上,
∴得,
又∵二次函数y=x2﹣mx+n的图象经过点A(3,0),
∴9﹣3m+n=0,
∴联立方程组得 ,解得或;
(3)①∵二次函数y=x2﹣mx+n的图象经过点A(3,0),
∴9﹣3m+n=0,
当m=﹣2时,解得n=﹣15,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣15,
∵对称轴x=﹣1在0≤x≤3的左侧,且二次函数的图象开口向上,
∴x=0时,y取最小值,最小值是﹣15.
∴当0≤x≤3时,二次函数y=x2﹣mx+n的最小值为﹣15;
②二次函数y=x2﹣mx+n图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为,
ⅰ)当对称轴≥3时,即m≥6时,在0≤x≤3中,二次函数y=x2﹣mx+n的最小值的最小值为0,此种情况不合题意;
ⅱ)当对称轴0<<3时,即0<m<6时,
解得 或 (舍去)
∴m=2,n=﹣3;
ⅲ)当对称轴≤0时,即m≤0时,
解得 (舍去),
综上所述当0≤x≤3时,二次函数y=x2﹣mx+n的最小值为﹣4时,m=2,n=﹣3.
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【题目】经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同,现有两辆汽车经过这个十字路口.
(1)用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果;
(2)求一辆车向右转,一辆车向左转的概率;
(3)求至少有一辆车直行的概率.
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【题目】阅读对学生的成长有着深远的影响,某中学为了解学生每周课余阅读的时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表.
组别 | 时间(小时) | 频数(人数) | 频率 |
A | 0≤t≤0.5 | 6 | 0.15 |
B | 0.5≤t≤1 | a | 0.3 |
C | 1≤t≤1.5 | 10 | 0.25 |
D | 1.5≤t≤2 | 8 | b |
E | 2≤t≤2.5 | 4 | 0.1 |
合计 | 1 |
请根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)表中的a= ,b= ,中位数落在 组,将频数分布直方图补全;
(2)估计该校2000名学生中,每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名?
(3)E组的4人中,有1名男生和3名女生,该校计划在E组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告,请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率.
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】为了丰富校园文化生活,提高学生的综合素质,促进中学生全面发展,学校开展了多种社团活动.小明喜欢的社团有:合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团(分别用字母A,B,C,D依次表示这四个社团),并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上,然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 .
(2)小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母后不放回,再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率.
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【题目】如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为点M,BM=OM=2,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出当mx+n时,x的取值范围;
(3)直线AB交x轴于点D,过点D作直线l⊥x轴,如果直线l上存在点P,坐标平面内存在点Q,使以O、P、A、Q为顶点的四边形是矩形,直接写出点P的坐标.
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【题目】如图1,在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE.
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)如图2,连接CE,⊙O的半径为5,AC长为4,求阴影部分面积之和.(保留与根号) .
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