Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF；
（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC；由（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，进而求得CF的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=OA，BF=OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；

（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴
由（1）可知F为OB的中点，
所以DF=3FB，得
∴
∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，cm．
（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）
点评：本题主要考查了矩形的性质、全等三角形、相似三角形的判定以及用勾股定理解直角三角形等，较为复杂．