Question

【题目】若二次函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2．

（1）求证：抛物线与x轴有交点．

（2）经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．

（3）若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内，请比较y1，y的大小．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）（﹣1，0）、（﹣2，﹣2）；（3）当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y

【解析】

（1）令kx2+（3k+2）x+2k+2=0，只要根的判别式大于等于0恒成立即可；

（2）由y＝kx2+（3k+2）x+2k+2＝k（x2+3x+2）+2x+2，当x2+3x+2＝0，－2x－2+y＝0时，函数过定点，x=-1或x=-2，将其代入，即可求得定点坐标;

(3)根据函数图像，即可得到答案.

（1）△＝b2﹣4ac＝（3k+2）2﹣4k（2k+2）＝（k+2）2≥0，

∴抛物线与x轴有交点；

（2）由y＝kx2+（3k+2）x+2k+2＝k（x2+3x+2）+2x+2，

得k（x2+3x+2）＝－2x－2+y

当x2+3x+2＝0，－2x－2+y＝0时，函数过定点，则x＝﹣1，y＝0或x＝﹣2，y＝－2则定点为：（﹣1，0）、（﹣2，﹣2）；

（3）如图所示，抛物线过定点：（﹣1，0）、（﹣2，﹣2），

由图像可知：当k＞0时，y1＞y；

当k＜0时，y1＜y．