Question

增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程+5=有增根．
探究2：m为何值时，方程+5=的根是-1．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程+5=的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的m₁、m₂、m₃的关系是________．

Answer 1

m₃=m₁+m₂-15
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．
解答：探究1：方程两边都乘（x-3），
得3x+5（x-3）=-m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x-3）=0，
解得x=3，
当x=3时，m=-9，
故m的值是-9．
探究2：方程两边都乘（x-3），
得3x+5（x-3）=-m
∵原方程的根为x=-1，
∴m=23，
探究3：由（1）（2）得x=，
方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，
即可得出对应的m，m₁=15-8a，m₂=15-8b，m₃=15-8c，
探究4：∵a+b=c，
∴+=，
整理得m₃=m₁+m₂-15，
故答案为m₃=m₁+m₂-15．
点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．