Question

7．如图，已知∠ABC=120°，AB=πr，BC=$\frac{πr}{2}$，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，则圆心O运动的路程是$\frac{11}{6}$πr．

Answer 1

分析 圆心O运动的路程分三部分：⊙O从点A出发到与到点B，再以B点为圆心，r为半径旋转60°，然后运动到C点，利用矩形的性质，根据弧长公式求三段的和即可．

解答 解：如图所示，圆心O运动的路径为线段OD，$\widehat{DE}$，线段EF，
∵AB=πr，BC=$\frac{πr}{2}$，
∴OD=πr，EF=$\frac{πr}{2}$，
∵∠ABC=120°，∠ABD=∠CBE=90°，
∴∠DBE=60°，
∴$\widehat{DE}$=$\frac{60×πr}{180}$=$\frac{1}{3}π$r，
∴圆心O运动的路程=OD+$\widehat{DE}$+EF=πr+$\frac{1}{3}π$r+$\frac{πr}{2}$=$\frac{11}{6}$πr，
故答案为：$\frac{11}{6}$πr．

点评 本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹划分为三部分进行计算是解题的关键．弧长公式为：l=$\frac{nπR}{180}$（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．