【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.
(1)∠B=70°,求∠CAD的大小;
(2)连接EF,求证:AD垂直平分EF.
【答案】(1)∠CAD=20°;(2)证明见解析.
【解析】
(1)利用已知条件证明Rt△BDE≌Rt△CDF,得出DE=DF,∠C=∠B=70°,则∠BAC=40°,再利用角平分线的性质的逆定理得出∠CAD=∠BAC;
(2)利用垂直平分线的性质的逆定理证明AE=AF,DE=DF即可
(1)解:∵D是BC的中点,
∴DB=DC,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴DE=DF,∠C=∠B=70°,
∴∠BAC=40°,
∵DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠CAD=∠BAC=20°;
(2)证明:∵∠C=∠B,
∴AB=AC,
∵BE=CF,
∴AE=AF,又DE=DF,
∴AD垂直平分EF.
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【题目】为了争创全国文明卫生城市,优化城市环境,某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车,现有A、B两种型号,其中每台的价格,年省油量如下表:
A | B | |
价格(万元/台) | a | b |
节省的油量(万升/年) | 2.4 | 2 |
经调查,购买一台A型车比购买一台B型车多20万元,购买2台A型车比购买3台B型车少60万元.
(1)请求出a和b;
(2)若购买这批混合动力公交车(两种车型都要有)每年能节省的汽油量不低于22.4万升,请问有哪几种购车方案?
(3)求(2)中最省钱的购买方案所需的购车款.
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【题目】【问题发现】
(1)如图(1),四边形ABCD中,若AB=AD,CB=CD,则线段BD,AC的位置关系为__________;
【拓展探究】
(2)如图(2),在Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,分别以AB,AC为底边,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的形状,并说明理由;
【解决问题】
(3)如图(3),在正方形ABCD中,AB=2,以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°,得到正方形AB'C'D',请直接写出BD'平方的值.
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【题目】今年,第十五号台风登陆江苏,A市接到台风警报时,台风中心位于A市正南方向104km的B处,正以16km/h的速度沿BC方向移动.
(1)已知A市到BC的距离AD=40km,那么台风中心从B点移到D点经过多长时间?
(2)如果在距台风中心50km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长?
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【题目】今年4月18日﹣4月20日,第29届重庆市青少年科技创新大赛在重庆南开中学举行,该校学生会在赛后对某年级各班的志愿者人数进行了统计,各班志愿者人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况,并制成两幅不完整的统计图如下:
(1)该年级共有 个班级,并将条形图补充完整;
(2)求平均每班有多少名志愿者;
(3)为了了解志愿者在这次活动中的感受,校学生会准备从只有2名志愿者的班级中任选两名志愿者参加座谈会,请用列表或画树状图的方法,求出所选志愿者来自同一个班级的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,点G是⊙O上一点,AG交CD于点K,延长KD至点E,使KE=GE,分别延长EG、AB相交于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC∥EF,试探究KG、KD、GE之间的关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=2,求FG的长.
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【题目】如图,在ABCD中,AM,CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AMCN为菱形的是( )
A.AM=AN B.MN⊥AC
C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD=120°
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0),(0,3),OD=5,点P在BC(不与点B、C重合)上运动,当△OPD为等腰三角形时,点P的坐标为______.
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