Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF.

（1）∠B＝70°，求∠CAD的大小；

（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD＝20°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用已知条件证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出DE＝DF，∠C＝∠B＝70°，则∠BAC＝40°，再利用角平分线的性质的逆定理得出∠CAD＝∠BAC；

（2）利用垂直平分线的性质的逆定理证明AE＝AF，DE＝DF即可

（1）解：∵D是BC的中点，

∴DB＝DC，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴DE＝DF，∠C＝∠B＝70°，

∴∠BAC＝40°，

∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠CAD＝∠BAC＝20°；

（2）证明：∵∠C＝∠B，

∴AB＝AC，

∵BE＝CF，

∴AE＝AF，又DE＝DF，

∴AD垂直平分EF．