Question

（2012•松北区三模）在正方形ABCD中，点P在射线AB上，点Q在边AD上，且BP=DQ，连接PQ交AC于E，交BD于F，若AB=3，AF=

5

，则线段EF的长为

5

3

．

Answer 1

分析：过点Q作QG∥AB交OD于点G，过点F作FH∥AB交OA于H，根据正方形的性质可得△DGQ是等腰直角三角形，然后得到DQ=QG，再利用“角角边”证明△PBF和△QGF全等，根据全等三角形的可得PF=QF，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PQ的长，然后在Rt△APQ中利用勾股定理列式求出BP的长，在Rt△AOF中，根据勾股定理求出OF的长，然后根据平行线成比例定理列式求出HF的长，再次利用平行线成比例定理列出比例式求解即可．

解答：解：如图，过点Q作QG∥AB交OD于点G，过点F作FH∥AB交OA于H，
则△DGQ是等腰直角三角形，
∴DQ=QG，
又∵BP=DQ，
∴BP=QG，
由QG∥AB得，∠P=∠FQG，
在△PBF和△QGF中，

∠P=∠FQG ∠PFB=∠QFG BP=QG

，
∴△PBF≌△QGF（AAS），
∴PF=QF，
∴PQ=2AF=2

5

，
设BP=DQ=x，
则AB=3+x，AQ=3-x，
在Rt△APQ中，PQ²=AP²+AQ²，
即（2

5

）²=（3+x）²+（3-x）²，
解得x=1，
在Rt△AOF中，AO=BO=

3 2

2

，
OF=

AF2-AO2

=

5 2-( 3 2 2 )2

=

2

2

，
由FH∥AB得，

HF

AB

=

OF

BO

，
即

HF

3

=

2 2

3 2 2

，
解得HF=1，

HF

AP

=

EF

PE

，
即

1

3+1

=

EF

5 +EF

，
解得EF=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题主要考查了平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用，正方形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用平行线成比例定理是解题的关键．