Question

已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．

Answer 1

证明：如图，连接BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点，
∵四边形AEFC为菱形，
∴EF∥AC．
∴GE=OB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB⊥AC，
∴OB∥GE，
∵AE=AC，OB=BD=AC，
∴EG=AE，
∴∠EAG=30°．
∴∠BAE=15°．
在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC=∠EAC=15°
∴∠EAB=∠FAE=∠FAC．
即AE、AF把∠BAC三等分．
分析：连接BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点，然后根据平行线间的距离相等可得GE=OB，再根据菱形的四条边都相等可得AE=AC，正方形的对角线互相平分且相等求出OB=AC，然后求出EG=AE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠EAG=30°，然后求出∠BAE=15°，再根据菱形的对角线平分一组对角即可得证．
点评：本题考查了正方形的对角线互相平分且相等，平分一组对角的性质，菱形的性质的四条边都相等，菱形的对角线平分一组对角的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．