Question

（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根据点B，C的坐标，用待定系数法来求出直线BC的解析式；
（2）可先计算出梯形面积的，也就求出了四边形COPD的面积．有OC的长，D是BC的中点，如果过D作梯形的中位线，可求出三角形OCD中，OC边上的高应该是4，由此可求出三角形OCD的面积，也就能表示出OPD的面积，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面积，得出关于t的方程，即可求出此时t的值；
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在OA上时，即0＜t＜8时，如果过D作OA的垂线DE，垂直为E，那么DE就是梯形的中位线，即DE=7，要表示三角形OPD的面积，还需知道OP的长，可以根据P点的速度，用时间t表示出OP，这样可根据三角形的面积公式求出关于S，t的函数关系式．

②当P在AB上时，即8≤t＜18时，三角形OPD的面积可以用四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积来表示，而四边形OAPD的面积可分成梯形DEAP和三角形OED两部分来求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四边形OAPD的面积，三角形OAP中，可用t表示出AP的长，进而可用t表示出三角形OAP的面积，然后根据三角形OPD的面积S=四边形OAPD的面积-三角形OAP的面积，即可得出关于S，t的函数关系式；
③当P在BD上时，即18＜t＜23时，三角形OPD的面积可用三角形OCP的面积-三角形OCD的面积来求，三角形OPC中，可过P作OC的垂线PH，可根据AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC边上的高PH的表达式，那么就能表示出三角形OPC的面积，三角形OCD中，OC的值已知，而OC边上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面积，然后可根据三角形OPD的面积=三角形OPC的面积-三角形OCD的面积来求出关于S，t的函数关系式；

（4）先假设存在这样的点P，那么四边形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此时t的值，首先就要求出AP的长，根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不难得出三角形AQP与三角形DPB相似，那么可得出关于BD，BP，AP，QP的比例关系，而BD，QP的长已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此时AP，PB的长，然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立，如果成立可根据AP的长求出t的长．
解答：解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，
因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：
，
解得k=，b=4，
因此BC所在直线的解析式是y=x+4；

（2）过D作DE⊥OA，
则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，
则DE=7，又OA=8，得S_梯形OABC=56，
则四边形OPDC的面积为16，S_△COD=8，
∴S_△POD=8，
即•t×7=8，
得t=；

（3）分三种情况
①0＜t≤8，（P在OA上）
S_三角形OPD=t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S_三角形OPD=S_梯形OCBA-S_三角形OCD-S_三角形OAP-S_三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此时AP=t-8，BP=18-t）
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值为
CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S_三角形OPD=S_三角形OPC-S_三角形ODC
=×4（22.4-0.8t）-8
=-t；

（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
则CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
设BP=x，则PA=10-x，
∴，
化简得x²-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．
点评：本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．