Question

7．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，CE=1，∠CAE=15°，则BE等于$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由矩形ABCD，得到OA=OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OA=OB和△ABE是等腰直角三角形，求出∠BAO，最后用勾股定理计算即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠BAO=60°，
在RT△ABC中，BC=AB+CE=AB+1，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB+1}{AB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴BE=AB=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，

点评 此题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等边三角形和等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出AB．