Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos∠ACB的值是

3

3

．

Answer 1

分析：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD．可证明A、B、C、D四点共圆，根据相交弦定理得出PD，则计算出AB，由勾股定理得出BC，从而得出答案．

解答：解：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD，
由AB=BD得E是AD的中点，因此OE是△ACD的一条中位线，从而O是AC的中点，
以O为圆心，OA为半径作圆，则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点，
易知 AP=4，PC=1，AC=AP+PC=5，
因此，OA=OC=2.5．OP=OC-PC=1.5，
由BE∥CD得，BP：PD=OP：PC=1.5，
因此BP=1.5PD，从而 AB=BD=BP+PD=2.5PD，
由相交弦定理得 BP•PD=AP•PC=4，
即 1.5PD²=4，
因此 PD²=

8

3

，
从而 AB²=（2.5PD）²=6.25PD²=

50

3

，
由勾股定理得
BC²=AC²-AB²=5²-

50

3

=

25

3

，
因此 BC=

5 3

3

，
∴cos∠ACB=BC：AC=

3

3

．

点评：本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及四点共圆等知识点，综合性较强．