Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度y（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流密度不超过25辆/千米时，车流速度为70千米/小时，研究表明：当25≤x≤200时，车流速度y是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数y与x的函数关系式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）w=x•y可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）分0≤x≤25时，根据题意车流速度为定值70千米/小时，25＜x≤200时，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），根据图象经过点（25，70），（200，0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）把y换成关于x的关系式，整理并写成顶点式解析式，再根据抛物线的最值问题解答即可．

解答：解：（1）当0≤x≤25时，车流速度为y=70，
当25＜x≤200时，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则图象经过点（25，70），（200，0），
所以，

25k+b=70 200k+b=0

，
解得

k=- 2 5 b=80

，
此时y=-

2

5

x+80，
所以，函数y与x的函数关系式为y=

70(0≤x≤25) - 2 5 x+80(25＜x≤200)

；

（2）w=x•y=x（-

2

5

x+80）=-

2

5

x²+80x=-

2

5

（x-200x+10000）²+4000=-

2

5

（x-100）²+4000，
即w=-

2

5

（x-100）²+4000，
所以，当车流密度x=100时，车流量w有最大值，为4000辆/小时．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，（1）要注意根据自变量的取值范围分段求解．