Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由见解析.

试题分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
（3）先判定△DBE是直角三角形，即可得证△AOB∽△DBE.
试题解析：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积＝ 

；
（3）相似
如图，；



即：，所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，
∴△AOB∽△DBE.
考点: 二次函数综合题．