Question

如图，己知双曲线y=（x＞0）与经过点A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．
（1）求△OPQ的面积．
（2）试说明：△OAQ≌△OBP．
（3）若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA=a（0＜a＜1），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．
①a为何值时，CE=AC？
②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，请求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：设过A、B两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A（1，0）、B（0，1），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y=-x+1，
∴，解得或，
∴P（，） Q（，）；
过点O作OF⊥AB于点F，
∵点A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB=1，AB=，
∴AB•OF=OB•OA，OF=1，解得OF=，
∵P（，） Q（，），
∴PQ==，
∴S_△OPQ=PQ•OF=××=；

（2）证明：∵点A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB，∠ABO=∠OAB=45°，
∵OF⊥AB，
∴OF是线段AB的垂直平分线，
∴BF=AF，
∵P（，） Q（，）；
∴OP=OQ，PF=QF，
∴BP=AQ，
在△OAQ与△OBP中，
∵，
∴△OAQ≌△OBP；

（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OA=1，CA=a，
∴OC=1-a，
∵CD⊥AB，∠OAB=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴DM=CM=CA=，
∵DE⊥y轴，
∴四边形DEOM是矩形，
∴OE=DM=，
在Rt△OEC中，
∵CE=AC=a，OC=1-a，OE=，
∴CE²=OC²+OE²，即a²=（1-a）²+（）²，
解得a=4-2或a=4+2（舍去）．
故当a为4-2时，CE=AC；
②存在．理由如下：
由①可知，OC=1-a，OE=，
∵OA=OB，CE∥AB，
∴OC=OE，即1-a=，
解得a=，
∴1-a=1-=，
∴C（，0）．
分析：（1）先用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出直线AB与双曲线y=（x＞0）的交点坐标，根据勾股定理求出线段AB的长，过点O作OF⊥AB于点F，利用三角形的面积公式求出OF的长，进而可得出△OPQ的面积；
（2）先根据A、B两点的坐标可知△OAB是等腰直角三角形，OA=OB，∠ABO=∠OAB=45°，由OF⊥AB可知OF是线段AB的垂直平分线，故BF=AF，由P、Q两点的坐标可知OP=OQ，故PF=QF，所以BP=AQ，由此即可得出结论；
（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，由于OA=1，CA=a，故OC=1-a，由CD⊥AB，∠OAB=45°可知△ADC是等腰直角三角形，故DM=CM=CA=，再根据DE⊥y轴可知四边形DEOM是矩形，故OE=DM=，在Rt△OEC中利用勾股定理即可求出a的值；
②由①可知，OC=1-a，OE=，由于OA=OB，所以若CE∥AB，则OC=OE，故可得出a的值．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大．